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Il calcolo letterale: giocare con le lettere
Un percorso interattivo per imparare a calcolare con le espressioni algebriche: monomi, polinomi e le operazioni tra loro.
In matematica, quando al posto dei numeri usiamo le lettere, possiamo scrivere regole valide per infiniti casi in una sola riga. Imparare a maneggiare queste espressioni — sommarle, moltiplicarle, dividerle — è la base di tutta l'algebra che incontrerai negli anni.
Non serve sapere nulla in anticipo: in ogni sezione trovi quattro schede — Teoria, Simulazione, Esercizi e Quiz — da percorrere nell'ordine che preferisci.
Che cosa imparerai
Come funziona ogni sezione
- Teoria — la regola spiegata in modo semplice.
- Simulazione — premi “Avanti” e osserva il procedimento un passo alla volta.
- Esercizi — prova tu, poi scopri la soluzione.
- Quiz — domande a scelta multipla per verificare cosa hai imparato.
📜 Una nota storica
L'idea di usare le lettere nei calcoli è sorprendentemente recente. Il matematico persiano al-Khwārizmī (IX secolo) scrisse un'opera intitolata al-jabr — da cui la parola “algebra” — ma i suoi problemi erano ancora espressi a parole.
Bisogna aspettare il francese François Viète (fine del ‘500) perché le lettere entrino stabilmente nei calcoli: fu lui a usare le vocali per le quantità sconosciute e le consonanti per quelle note. Pochi decenni dopo René Descartes (Cartesio) introdusse la scrittura che usiamo ancora oggi, con le ultime lettere dell'alfabeto (x, y, z) per le incognite e gli esponenti in alto.
Quando scrivi x² stai usando un linguaggio costruito nell'arco di oltre mille anni.
I monomi
Che cos'è un monomio?
Un monomio è il prodotto tra un numero (il coefficiente) e una o più lettere con esponente (la parte letterale).
Somma e differenza
Si sommano o sottraggono solo monomi simili (stessa parte letterale): si sommano i coefficienti e si tiene la parte letterale.
Prodotto e divisione
Nel prodotto si moltiplicano i coefficienti e si sommano gli esponenti delle lettere uguali; nella divisione si dividono i coefficienti e si sottraggono gli esponenti.
Potenze
Si eleva il coefficiente e si moltiplica ogni esponente per l'esponente della potenza.
Simulazione passo-passo
Esercizi svolti
Monomio per polinomio
La proprietà distributiva
Un polinomio è una somma di monomi. Per moltiplicare un monomio per un polinomio si moltiplica il monomio per ogni termine, uno alla volta.
Simulazione passo-passo
Esercizi svolti
Polinomio per polinomio
Ogni termine per ogni termine
Si applica la distributiva più volte: ogni termine del primo polinomio moltiplica ogni termine del secondo. Alla fine si sommano i termini simili.
Simulazione passo-passo
Esercizi svolti
Prodotti notevoli
Che cosa sono
Alcune moltiplicazioni tra polinomi sono così frequenti che conviene memorizzarne il risultato.
Differenza di quadrati
Quadrato del binomio
Quadrato del trinomio
Somma e differenza di cubi
a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)
Tabella riassuntiva
| Espressione | Risultato |
|---|---|
| (a+b)(a−b) | a²−b² |
| (a+b)² | a²+2ab+b² |
| (a−b)² | a²−2ab+b² |
| (a+b+c)² | a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc |
| a³+b³ | (a+b)(a²−ab+b²) |
| a³−b³ | (a−b)(a²+ab+b²) |
Simulazione passo-passo
Esercizi svolti
Divisione tra polinomi
Dividere un polinomio per un altro
Come per i numeri interi, dividendo due polinomi si ottengono un quoziente e un resto:
Divisione lunga
Si ordinano i polinomi per potenze decrescenti, poi si ripete: dividi il primo termine, moltiplica, sottrai, abbassa.
Regola di Ruffini
Scorciatoia per dividere per un binomio del tipo (x − k): si lavora solo con i coefficienti in uno schema a griglia.
Regola del resto
Il resto di P(x) : (x − k) è il valore P(k): basta sostituire.